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Zentrierte Fünfeckszahlen - Rechner

Zentrierte Fünfeckszahlen stellen die Anzahl von Steinen dar, die benötigt wird, um ein regelmäßiges Fünfeck aus seinem Zentrum heraus und um dieses Zentrum herum zu legen.

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Ergebnis
Nummer
Zentrierte Fünfeckszahl
1
1
2
6
3
16
4
31
5
51
6
76
7
106
8
141
9
181
10
226
11
276
12
331
13
391
14
456
15
526
16
601
17
681
18
766
19
856
20
951

Die zentrierten Fünfeckszahlen oder Pentagonalzahlen gehören zu den sog. figurierten Zahlen, da sie sich auf eine geometrische Figur bzw. Form beziehen, in diesem Fall ein Fünfeck. Dies veranschaulicht die folgende Abbildung der ersten vier zentrierten Fünfeckszahlen.

Die n-te zentrierte Fünfeckszahl gibt jeweils die Anzahl der Steine an, die benötigt wird, um ein entsprechendes Fünfeck mit der Kantenlänge n aus dem Zentrum heraus zu legen. Die Variable n kann eine beliebige natürliche Zahl größer/gleich Null sein. Der erste Stein wird dabei in die Mitte gelegt. Dann werden weitere Steine gleichmäßig im Fünfeck um das Zentrum herum angeordnet. Für jede neue Schicht wird jeweils ein neuer Stein über jeder Ecke platziert, und jede Kante erhält einen Stein mehr als in der vorherigen Schicht. Um ein zentriertes Fünfeck um eine Schicht zu erweitern, braucht es also immer fünf Steine mehr als in der vorherigen Schicht.

Daraus ergibt sich als erste zentrierte Fünfeckszahl die 1 (der erste Stein im Zentrum), als zweite zentrierte Fünfeckszahl 1+5 = 6 (die erste sichtbar fünfeckige Schicht um den Zentralstein herum), als dritte 1+5+10 = 16, als vierte 1+5+10+15 = 31 usw. Dabei bilden die einzelnen Summanden ab dem zweiten Summanden eine arithmetische Folge, d.h. eine regelmäßige Zahlenfolge mit gleicher Differenz zwischen benachbarten Zahlen; in diesem Fall +5.

Wie die unzentrierten Fünfeckszahlen bilden auch die zentrierten Fünfeckszahlen somit also eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.

Zentrierte Fünfeckszahlen gehören auch zu den zentrierten Polygonalzahlen, da das Fünfeck ein Polygon darstellt.

Optische Täuschung: Die Seiten des Fünfecks scheinen leicht nach innen gebogen. Das ist jedoch eine optische Täuschung, die Seiten sind exakt gerade.

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