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Zentrierte Dreieckszahlen - Rechner

Zentrierte Dreieckszahlen stellen die Anzahl von Steinen dar, die benötigt wird, um ein gleichseitiges Dreieck aus seinem Zentrum heraus und um dieses Zentrum herum zu legen.

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Ergebnis
Nummer
Zentrierte Dreieckszahl
1
1
 
2
4
 
3
10
 
4
19
 
5
31
 
6
46
 
7
64
 
8
85
 
9
109
 
10
136
 
11
166
 
12
199
 
13
235
 
14
274
 
15
316
 
16
361
 
17
409
 
18
460
 
19
514
 
20
571
 

Die zentrierten Dreieckszahlen gehören zu den sogenannten figurierten Zahlen, da sie sich auf eine geometrische Figur bzw. Form, in diesem Fall ein gleichseitiges Dreieck, beziehen. Dies veranschaulicht die folgende Abbildung der ersten vier zentrierten Dreieckszahlen.

Die n-te zentrierte Dreieckszahl gibt somit die Anzahl der Steine an, die benötigt wird, um ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge n aus dem Zentrum heraus zu legen; n kann eine beliebige natürliche Zahl größer/gleich Null sein. Dabei wird der erste Stein in die Mitte gelegt, und dann weitere Steine gleichmäßig im Dreieck um das Zentrum herum angeordnet. Bei jeder neuen Schicht wird jeweils ein neuer Stein über jeder Ecke platziert, und jede Kante erhält einen Stein mehr als in der vorherigen Schicht. Um ein zentriertes Dreieck um eine Schicht zu erweitern, braucht es also immer drei Steine mehr als in der vorherigen Schicht.

Daraus ergibt sich als erste zentrierte Dreieckszahl die 1 (erster Stein im Zentrum), als zweite zentrierte Dreieckszahl 1+3 = 4 (die erste sichtbar dreieckige Schicht um den Zentralstein herum), als dritte 1+3+6 = 10, als vierte 1+3+6+9 = 19 usw. Dabei bilden die einzelnen Summanden ab dem zweiten Summanden eine arithmetische Folge, d.h. eine regelmäßige Zahlenfolge mit gleicher Differenz zwischen benachbarten Zahlen; in diesem Fall +3.

Wie die unzentrierten Dreieckszahlen bilden auch die zentrierten Dreieckszahlen selbst somit also eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.

Zentrierte Dreieckszahlen gehören auch zu den zentrierten Polygonalzahlen, da das Dreieck ein Polygon darstellt.

Optische Täuschung: Die Seiten des Dreiecks scheinen leicht nach innen gebogen. Das ist jedoch eine optische Täuschung, die Seiten sind exakt gerade.


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