Fünfeckszahlen - Rechner

Die Fünfeckszahlen, auch Pentagonalzahlen genannt, gehören zu den sogenannten figurierten Zahlen, da sie sich auf eine geometrische Figur bzw. Form beziehen – in diesem Fall ein regelmäßiges Fünfeck. Dies veranschaulicht die folgende Abbildung der ersten vier Fünfeckszahlen.

Die n-te Fünfeckszahl gibt somit die Anzahl der Steine an, die man braucht, um n regelmäßige Fünfecke mit der Kantenlänge n und einer gemeinsamen Ecke zu legen. Genau wie bei den Dreieckszahlen und Quadratzahlen handelt es sich also nicht nur um ein einzelnes Fünfeck, sondern um n aufeinander aufbauende und damit teilweise gefüllte Fünfecke. Dabei kann n eine beliebige natürliche Zahl größer/gleich Null sein.

Um ein solches Fünfecksmuster um das nächstgrößere Fünfeck zu erweitern, braucht es immer genau 3 Steine mehr als bei der vorherigen Erweiterung (siehe Abb.). Dadurch lassen sich Fünfeckszahlen als Summe ihrer einzelnen Erweiterungen berechnen: Die erste Fünfeckszahl ist die 1, die zweite 1+4 = 5, die dritte 1+4+7 = 12, die vierte 1+4+7+10 = 22, usw. Die einzelnen Summanden bilden dabei eine arithmetische Folge. Das ist eine regelmäßige Zahlenfolge, bei der aufeinander folgende Zahlen immer die gleiche Differenz haben; bei den Fünfeckszahlen ist die Differenz immer +3. Die Folge der Fünfeckszahlen selbst ist somit also eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.

Fünfeckszahlen gehören außerdem zu den Polygonalzahlen, da das Fünfeck ein Polygon darstellt.