Hölder-Mittel bzw. Potenzmittel einer Werteliste berechnen

Klingt komisch, ist aber die Standard-Formel, von der sich zahlreiche spezielle Mittelwerte ableiten lassen, darunter das bekannte arithmetische Mittel. Das Hölder-Mittel geht auf den deutschen Mathematiker Otto Hölder (1859–1937) zurück.

Um das Hölder-Mittel einer Wertereihe zu bilden, werden zuerst alle Werte mit einem Exponenten p potenziert ("hoch p", daher "Potenzmittel") und addiert. Die Summe wird durch die Anzahl n der Werte geteilt, wie man es vom arithmetischen Mittel kennt. Zum Schluss wird daraus die p-te Wurzel gezogen. Das Hölder- oder Potenzmittel ist also: Die p-te Wurzel aus dem arithmetischen Mittel der p-ten Potenzen.

Mit diesem Online-Rechner berechnen Sie das Hölder-Mittel (Potenzmittel) einer Wertereihe mit einem Klick: Geben Sie alle Werte untereinander ein, sowie den Exponenten p, und klicken Sie auf Berechnen. Die Reihenfolge ist beliebig; die Werte können auch per copy & paste eingegeben werden. Sie können Ihrer Berechnung optional einen Titel und Kommentar hinzufügen.

Das Ergebnis zeigt das daraus errechnete Hölder-Mittel (Potenzmittel), sowie die Anzahl der Werte (hilfreich bei längeren Datenreihen). Darunter werden die Werte per Säulendiagramm dargestellt. Das Hölder-Mittel ist als Linie eingezeichnet. Sie dürfen das Diagramm herunterladen und verwenden; die Nutzungsbedingungen finden Sie neben dem Herunterladen-Button. Die ganze Berechnung kann als Permalink gespeichert werden.

Das Hölder-Mittel aka Potenzmittel

Das Hölder- oder Potenzmittel ist ein allgemeiner Mittelwert, ein Lagemaß der beschreibenden (deskriptiven) Statistik, und die Basis verschiedener anderer Mittelwerte:

• Exponent p = 1 ⇒ Arithmetisches Mittel
  Alle Werte (hoch 1), addieren, teilen durch die Anzahl, (1. Wurzel daraus ändert nichts weiter)
• Exponent p = 2 ⇒ Quadratisches Mittel
  Alle Werte hoch 2, addieren, teilen durch die Anzahl, 2. Wurzel daraus
• Exponent p = 3 ⇒ Kubisches Mittel
  Alle Werte hoch 3, addieren, teilen durch die Anzahl, 3. Wurzel daraus
• Exponent p = -1 ⇒ Harmonisches Mittel
  Alle Werte hoch -1 (= Kehrwerte), addieren, teilen durch die Anzahl, -1. Wurzel daraus (= wieder Kehrwert bilden)
• Lässt man p gegen 0 streben, entspricht der Grenzwert dem geometrischen Mittel.

Zur Berechnung des Hölder-Mittels müssen alle Werte der Datenreihe größer/gleich Null sein. Der Exponent kann positiv oder negativ sein, aber nicht Null (weil man keine nullte-Wurzel ziehen kann). Spezialfälle ergeben sich für p gegen -∞, was zum Minimum der Werteliste führt, und p gegen +∞, was zum Maximum der Werteliste führt. Auch hier geht es natürlich um empirische Werte, das heißt Werte, die man bei Versuchen oder Beobachtungen gemessen hat. Das Hölder-Mittel ist stets größer/gleich Null.

Beispiel: Berechnet werden soll das Hölder-Mittel (Potenzmittel) folgender Werte mit Exponent p = 4:
32,8
10,5
28,4
15,0
22,5

Um das Hölder-Mittel (Potenzmittel) zu berechnen, werden alle Werte mit 4 potenziert und addiert: 32,8⁴ + 10,5⁴ + 28,4⁴ + 15,0⁴ + 22,5⁴. Die Summe wird durch die Anzahl der Werte geteilt: 5. Aus dem Quotienten wird die 4. Wurzel gezogen. Ergebnis, gerundet: 25,54.

All in one: Die wichtigsten Lage- und Streuungsmaße auf einmal berechnen.