Quadratische Gleichung analytisch lösen

Eingaben in den Rechner zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Sie haben die Problemstellung ax² + bx + c = d oder eine Polynomgleichung zweiten Grades, die Sie in die Normalform überführt haben, also ax² + bx + c = 0 und wollen x bestimmen? In diesen Fällen spricht man auch von quadratischen Gleichungen.

Oder haben Sie eine ausmultiplizierte Parabelgleichung der Form y = ax² + bx + c bzw. f(x) = ax² + bx + c und wollen deren Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen. Oder möchten Sie ermitteln bei welchen x-Werten ein bestimmter Funktionswert erreicht wird?

In diesen Fällen geben Sie einfach den Faktor vor x² in das Feld des quadratischen Glieds ein. Sollte da kein explizit aufgeführter Faktor stehen, geben Sie bitte 1 ein. Falls Sie einen Term mit x haben, tragen Sie den betreffenden Faktor in das Feld lineares Glied ein. Kommt x in der ersten Potenz gar nicht vor, geben Sie bitte 0 ein. Steht nur x da, entspricht das 1 x. Den Wert von c geben Sie bei Absolutwert ein. Liegt kein Absolutwert vor, tragen Sie 0 ein. Für Zielwert lassen Sie den Vorgabewert Null für die Bestimmung der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse oder bei einer quadratische Gleichungen in der Normalform. Alternativ können Sie eingeben, welcher y-Wert bzw. f(x)-Wert erreicht werden soll bzw. bei quadratischen Gleichungen der Form ax² + bx + c = d geben Sie den Zahlenwert von d ein. Drücken Sie anschließend das Feld Berechnen.

Für alle Werte können Sie rationale Zahlen eingeben, in herkömmlicher Schreibweise oder in Exponentialschreibweise. Werden die Glieder subtrahiert, geben Sie einfach bei dem Faktor ein negatives Vorzeichen an.

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform entsprechen den Schnittpunkten oder dem Schnittpunkt einer Parabel mit der x-Achse

Solange Sie nicht 0 in das Feld des quadratischen Glieds eingeben haben und somit gar kein quadratisches Glied haben, wird durch Ihre Vorgaben eine Parabel beschrieben und nach den Schnittpunkten mit der x-Achse gesucht, bzw. im Falle einer Eingabe ungleich 0 bei Zielwert nach den Schnittpunkten der Parabel mit einer Geraden parallel zur x-Achse.

Durch den Faktor vor dem quadratischen Glied wird bestimmt, ob die Parabel nach oben offen ist (positive Faktoren) oder nach unten geöffnet ist (bei negativen Faktoren) und wie steil die Parabel ist. In jeden Fall gibt es einen Scheitelpunkt und es werden durch die Parabel-Funktion nicht alle y-Werte angenommen. Das heisst: Bei positivem quadratischen Glied werden zwar alle y-Werte angenommen, die über dem Scheitelpunkt liegen, aber der y-Wert des Scheitelpunkts ist der kleinste Wert, den die Funktion annehmen kann. Bei negativem quadratischen Glied beschreibt der Scheitelpunkt den höchstmöglichen Funktionswert.

Durch die Eingaben von Faktoren bei dem linearen Glied und dem Absolutglied erhalten Sie eine Verschiebungen der Parabel. Sie bleibt symmetrisch mit einem absoluten Minimum oder Maximum je nach Faktor des quadratischen Glieds.

Es gibt eine, zwei oder keine Lösung bei quadratischen Gleichungen

Da eine Parabel also immer einen Extrempunkt hat, ergibt sich, dass es Kombinationen von Zahlenwerten geben kann, bei denen Sie keine Lösung bekommen. Das ist der Fall, wenn eine nach oben geöffnete Parabel so verschoben ist, dass Sie über dem gefragten Wert, z.B. über der x-Achse, ihren Scheitelpunkt hat. Entsprechendes gilt für nach unten geöffnete Parablen (negatives Vorzeichen des quadratischen Glieds) mit einem Scheitelpunkt unter dem Zielwert.

Für den Fall, dass der y-Wert des Scheitelpunkts dem Zielwert entspricht, erhalten Sie genau eine Lösung.

In den anderen Fällen schneidet die Parabel die x-Achse bzw. eine Gerade parallel zu dieser zweimal und Sie bekommen zwei Lösungen.

Der Zielwert ist mit der Beschriftung "Konstante" in der Abbildung dargestellt. Auch die x-Achse wird entsprechend dargestellt. Der Graph der Parabel wird in der Abbildung "Polynomfunktion" genannt.

Verwandte Rechner

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Lösen Sie kubische Gleichungen, also ähnliche Fragestellungen mit dem Unterschied, dass x sogar mit x³ eingeht.

Nutzen Sie unseren Universalrechner zum Lösen von Polynomgleichungen bis Grad 3.

Evtl. müssen Sie Ihre Terme erst ausmultiplizieren. Dazu können unter Umständen binomische Formeln Anwendung finden.