Kubische Gleichung analytisch lösen

Mit diesem Gleichungsrechner können Sie Nullstellen einer kubischen Parabel bestimmen oder eine Polynom-Gleichung der Form ax3 + bx2 + cx + d = f lösen. Die Ergebnisse werden zusätzlich graphisch dargestellt.

Eingabedaten
Kubisches Glied:
  x3
+ Quadratisches Glied:
  x2
+ Lineares Glied:
  x
+ Absolutglied:
= Zielwert
Ergebnisgenauigkeit:
  Nkst.
Datenschutzhinweis
Ergebnis
Anzahl der Lösungen:
3
 
1. Lösung:   x1 =
-4,14
 
2. Lösung:   x2 =
-2,00
 
3. Lösung:   x3 =
0,81
 
Diagramm der Polynomfunktion
-4,5-4-3,5-3-2,5-2-1,5-1-0,50,511,5-15-10-55101520yx PolynomfunktionKonstante
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Eingaben in den Rechner zur Lösung einer kubischen Gleichung

Sie haben die Problemstellung ax3 + bx2 + cx + d = f oder eine Polynomgleichung dritten Grades, die Sie in die Normalform überführt haben, also ax3 + bx2 + cx + d = 0 und wollen x bestimmen? In diesen Fällen spricht man auch von kubischen Gleichungen.

Oder haben Sie eine kubische Parabelgleichung der Form y = ax3 + bx2 + cx + d bzw. f(x) = ax3 + bx2 + cx + d und wollen deren Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen. Oder möchten Sie ermitteln bei welchem oder welchen x-Werten ein bestimmter Funktionswert erreicht wird?

In diesen Fällen geben Sie einfach die Faktoren vor x3, x2 und x in die Felder des kubischen, quadratischen und linearen Glieds ein. Für einen nicht explizit aufgeführten Faktor geben Sie bitte 1 ein. Kommt x in der zweiten oder ersten Potenz gar nicht vor, geben Sie bitte 0 in das entsprechende Feld ein. Den Wert von d geben Sie bei Absolutwert ein. Liegt kein Absolutwert vor, tragen Sie auch hier 0 ein. Für Zielwert lassen Sie den Vorgabewert Null für die Bestimmung des Schnittpunkts bzw. der Schnittpunkte der kubischen Parabel mit der x-Achse oder bei einer kubischen Gleichungen in der Normalform. Alternativ können Sie eingeben, welcher y-Wert bzw. f(x)-Wert erreicht werden soll bzw. bei kubischen Gleichungen der Form ax3 + bx2 + cx + d = f geben Sie den Zahlenwert von f ein. Drücken Sie anschließend das Feld Berechnen.

In jedes Feld können Sie rationale Zahlen in herkömmlicher Schreibweise oder in Exponentialschreibweise eingeben. Sollen die Glieder subtrahiert werden, stellen Sie dem Faktor ein Minuszeichen, direkt ohne Leerzeichen, voran.

Die Lösungen einer kubischen Gleichung in Normalform entsprechen den Schnittpunkten oder dem Schnittpunkt einer kubischen Parabel mit der x-Achse

Solange Sie nicht 0 in das Feld des kubischen Glieds eingeben haben, wird durch Ihre Vorgaben eine kubische Parabel beschrieben und nach den Schnittpunkten mit der x-Achse gesucht, bzw. im Falle einer Eingabe ungleich 0 bei Zielwert nach den Schnittpunkten der entsprechenden Parabel mit einer Geraden parallel zur x-Achse.

Es gibt eine, zwei oder drei Lösung bei kubischen Gleichungen

Kubische Parabeln sind immer punktsymmetrisch, und ihre y-Werte decken immer den gesamten Zahlenbereich ab. Dadurch gibt es auch immer mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse bzw. mit jeglicher Geraden parallel zur x-Achse und somit immer mindestens eine Lösung der kubischen Gleichung. Die genaue Form und Position der kubischen Parabel wird jedoch durch alle Terme bestimmt. Es gibt zwar immer einen Wendepunkt aber je nach Termen zwei lokale Extrema oder auch keine. Hat sie keine lokalen Extremwerte, gibt es einen Schnittpunkt bzw. eine Lösung.

Hat die kubische Funktion ein lokales Minimum und ein lokales Maximum, kann sie in Abhängigkeit der weiteren Parameter so im Koordinatensystem liegen, dass die x-Achse oder eine Parallele zur x-Achse drei mal geschnitten wird, so wie bei den Vorgabewerten dieses Rechners. Dann gibt es drei Lösungen. Fällt ein Extremwert mit dem Zielwert zusammen gibt es nur zwei Lösungen. Außerdem können die lokalen Extremwerte so liegen, dass sie vollständig über oder unter der x-Achse (bzw. der Gerade parallel zu ihr mit f(x) = Zielwert) sind, so dass es nur eine Lösung gibt.

Der Zielwert ist mit der Beschriftung "Konstante" in der Abbildung dargestellt. Auch die x-Achse wird entsprechend dargestellt. Der Graph der kubischen Parabel wird in der Abbildung "Polynomfunktion" genannt.

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