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Würfel, Hexaeder

Geometrische Würfel sind dreidimensionale Körper, deren Oberfläche von sechs gleich großen Quadraten gebildet wird, die jeweils rechtwinklig aneinander stoßen.

Würfel haben damit zwölf Kanten, die ihrerseits gleich lang sind, und acht Ecken, an denen jeweils drei der Oberflächenquadrate rechtwinklig aneinander grenzen.

Mit dem Würfel-Rechner lassen sich Kantenlängen, Oberfläche, Volumen und Raumdiagonale eines Würfels bestimmen. Nur eine der Größen muss dafür vorgegeben werden.

Die bekannteste und womöglich älteste Verwendung des geometrischen Würfels ist die des Spielwürfels. Kleine handliche Spielwürfel, mit den klassischen sechs Flächen, die mit unterschiedlichen Augenzahlen markiert sind, wurden schon vor über 4.000 Jahren verwendet, um Zufallszahlen für Spielzüge zu erzeugen. Wegen ihrer hohen Symmetrie – geometrische Würfel gehören zu den fünf platonischen Körpern – sind Würfel dafür bestens geeignet; bei ausreichend langem Rollen ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel auf einer bestimmten Seite landet, für alle Seiten gleich groß.

Würfel kann man als dreidimensionale Entsprechung des Quadrates sehen. Damit leitet sich auch die Berechnung von Würfeln aus der Berechnung von Quadraten ab. Oberfläche, Volumen und Raumdiagonale lassen sich aus der Kantenlänge errechnen, und weil alle Kanten gleich lang sind, kann aus jeder dieser Größen auf die Kantenlänge zurückgerechnet werden. Mit dem Würfelrechner lassen sich Kantenlängen, Oberfläche, Volumen und Raumdiagonale eines beliebigen Würfels bestimmen, wenn eine der Größen vorgegeben wird.

Beispiel

Gegeben sei ein Würfel mit der Kantenlänge 5 cm. Wie groß sind Oberfläche, Volumen und Raumdiagonale des Würfels?

Ergebnis im Würfel-Rechner aufrufen.

Der Würfel-Rechner gibt keine Einheiten vor, sodass die Eingabe in beliebigen Einheiten erfolgen kann. Die Ergebnisse werden dann in der gleichen Einheit ausgegeben. Weil es sich bei Würfeln um dreidimensionale Körper handelt, stehen dabei die Kantenlänge und die Raumdiagonale immer in der ersten Potenz (z.B. Zentimenter, cm), die Oberfläche in der zweiten Potenz (z.B. Quadratzentimeter, cm²), und das Volumen in der dritten Potenz (z.B. Kubikzentimeter, cm³).

Formeln zur Berechnung von Würfeln

Der Berechnung eines Würfels mit der Kantenlänge a liegen folgende Formeln zugrunde und können verwendet werden, um den Rechenweg nachzuvollziehen: Die Oberfläche A besteht aus sechs gleichen Seiten, wobei sich jede Seitenfläche aus der Kantenlänge im Quadrat ergibt (A = 6*a²). Das Volumen V beträgt die Kantenlänge mal die Kantenlänge mal die Kantenlänge (V = a³). Die Raumdiagonale d folgt dem Satz des Pythagoras, nur wie beim Quader dreidimensional und zusätzlich mit lauter gleich langen Kanten; daraus ergibt sich a² + a² + a² = d² bzw. d = a * Wurzel aus 3. Die Kantenlänge a lässt sich entsprechend durch Umformen aus allen anderen Größen herleiten.


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