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Volumen einer runden Schale

Von der Müslischale über Blumenvasen bis zum Kuppeldach: Wie berechnet man das Volumen einer kreisrunden Schale mit gewölbtem Boden?

Solche runden Schalen kann man geometrisch als Kugelsegment ansehen, also als Teil einer entsprechend größeren Kugel. Das Volumen eines Kugelsegments lässt sich berechnen, wenn man seine Höhe und den Öffnungsdurchmesser bzw. -radius kennt.

Das gilt für alle Kugelsegmente, egal ob es sich nur um einen kleinen Teil einer viel größeren Kugel handelt (z.B. eine flache Schale mit geringer Höhe und großem Öffnungsdurchmesser), oder um eine Halbkugel (z.B. eine Müslischale), oder um eine fast vollständige Kugel (z.B. eine kugelförmige Vase mit einem kleinen Öffnungsdurchmesser und größerer Höhe).

Das Volumen ist hier das Fassungsvermögen, d.h. wie viel in die runde Schale hinein passt. Der Öffnungsdurchmesser und die Höhe müssen deshalb im Inneren der Schale gemessen werden; die Wandstärke wird nicht dazu gezählt.

Dann gilt für das Volumen der runden Schale:

Volumen = 1/6 × π × Höhe × (3 × Öffnungsradius² + Höhe²)

Falls Sie das nicht unbedingt per Hand ausrechnen möchten, zeigt der der Online-Rechner "Fassungsvermögen einer runden Schale" direkt das Volumen einer entsprechenden Schale in Litern. Geben Sie dazu einfach den Öffnungsdurchmesser und die Höhe der Schale in Zentimetern ein (jeweils im Inneren der runden Schale gemessen) und klicken Sie auf Berechnen.

Beispiel

Welches Volumen bzw. Fassungsvermögen hat eine Müslischale mit einem Öffnungsdurchmesser von 15 cm und einer Höhe von 6 cm? Beide Maße wurden an der Innenseite gemessen.

Ergebnis im Online-Rechner "Fassungsvermögen einer runden Schale" aufrufen.

Das Volumen wird in Litern angezeigt. Ein Liter entspricht dem Rauminhalt, den ein Würfel mit der Kantenlänge 10 cm × 10 cm × 10 cm einschließt, und damit genau 1.000 Kubikzentimetern (cm³). Deshalb werden die Grundmaße (Öffnungsdurchmesser und Höhe) ebenfalls in Zentimetern verrechnet: So erhält man als Volumeneinheit zunächst Kubikzentimeter, teilt durch 1.000 und kommt damit genau auf Liter. Der Online-Rechner "Fassungsvermögen einer runden Schale" macht dies automatisch.

Wölbungsradius und was tun, wenn die Schale einen geraden Boden hat?

Zur Kontrolle gibt der Online-Rechner den Wölbungsradius der runden Schale mit an. Das ist der Radius der entsprechenden vollständigen Kugel, der sich ebenfalls aus den eingegebenen Daten errechnen lässt.

Ist die Schale zwar rund, hat anstelle eines gewölbten Bodens aber einen flachen Boden und gerade Wände, dann hat sie die Form eines Zylinders. In diesem Fall kann ihr Volumen mit dem Online-Rechner "Fassungsvermögen eines runden Behälters" berechnet werden.

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