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Kopfrechnen und schriftlich rechnen

Alle vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) können per Kopfrechnen und schriftlichem Rechnen gelöst werden, solange sich die Zahlen mit Ziffern von 1 bis 9 darstellen lassen. Für schriftliches und Kopfrechnen braucht man nur unterschiedliche Techniken.

Genauer gesagt, die umgekehrte Herangehensweise: Beim schriftlichen Rechnen wird in drei der vier Grundrechenarten "von hinten nach vorne" gerechnet. Man berechnet zuerst die letzte Stelle des Ergebnisses, dann die vorletzte und so weiter, bis man bei der vordersten Stelle ankommt. Zum Schluss wird das Ergebnis einfach abgelesen.

Beim Kopfrechnen wäre das zu kompliziert, denn man müsste am Ende alle Ziffern im Kopf umdrehen. Deshalb rechnet man beim Kopfrechnen direkt von vorne nach hinten und verwendet Zwischenergebnisse.

Der Zahlenbereich, indem sich Grundrechenaufgaben im Kopf lösen lassen, ist natürlich begrenzt, denn nur ganz wenige Menschen können sich so lange Zahlen im Kopf merken, wie sich aufschreiben lassen. Wer Kopfrechnen aber regelmäßig anwendet und damit übt, wird merken, dass es auch bei größeren zahlen immer leichter fällt. Mit einer gewissen Übung ist Kopfrechnen sogar oft schneller als schriftliches Rechnen – und man muss nicht erst Papier und Stift suchen.

Addition

Zum schriftlichen Addieren werden die Summanden nach dem Dezimalsystem passend untereinander geschrieben, sodass jeweils die Einerstellen, Zehnerstellen, Hunderstellen und so weiter untereinander stehen. Dann werden die Ziffern von hinten nach vorne spaltenweise addiert. Kommt man in einer Spalte über 10, wird nur die Einerstelle ins Ergebnis geschrieben, die Zehnerstelle aber in die nächstvordere Spalte übertragen und dann in dieser Spalte mit eingerechnet:

 123
+ 95
 1  
 218

Beim Addieren per Kopfrechnen wird dagegen schlicht von vorne nach hinten gerechnet. Und zwar schrittweise, wobei einer oder beide Summanden passend zerlegt werden können:

123 + 95
120 + 90 = 210
  3 +  5 =   8 ⇒ zusammen 218

Üben mit dem Additionstrainer

Subtraktion

Schriftliches Subtrahieren nutzt die gleiche Schreibweise wie die Addition, nur werden hier jeweils die Ziffern der unteren Zahl (Subtrahend) von den Ziffern der oberen Zahl (Minuend) abgezogen, ebenfalls spaltenweise von hinten nach vorne. Ggf. müssen die Ziffern der oberen Zahl dabei um 10 erhöht werden; dies wird dann ebenfalls in die nächstvordere Spalte übertragen und hier mit verrechnet.

 446
-353
 1  
  93

Beim Subtrahieren im Kopf rechnet man dagegen schrittweise von vorne nach hinten. Minuend und/oder Subtrahend können dabei passend zerlegt werden:

446 - 353
440 - 350 = [NR: 44 - 35 = 9] ⇒ 90
  6 -   3 = 3 ⇒ zusammen 93

Üben mit dem Subtraktionstrainer

Multiplikation

Für schriftliches Multiplizieren und Multiplizieren im Kopf wird zusätzlich das kleine Einmaleins benötigt. Beim schriftlichen Multiplizieren werden die Stellen der Faktoren einzeln von hinten nach vorne miteinander multipliziert, und die Ergebnisse geordnet untereinander geschrieben. Zehnerstellen werden dabei wieder jeweils eine Stelle nach vorn übertragen. Zum Schluss werden die untereinander stehenden Teilergebnisse addiert:

17 × 23
    34
   + 51
    391

Multiplizieren per Kopfrechnen erfolgt dagegen wieder von vorne nach hinten, wobei die Faktoren in ihre Stellen zerlegt und der Reihe nach miteinander multipliziert werden:

17 × 23
10 × 20 = 200
10 ×  3 =  30 ⇒ zusammen 230
 7 × 20 = 140 ⇒ und 230 = 370
 7 ×  3 =  21 ⇒ und 370 = 391

Üben mit dem Multiplikationstrainer

Division

Dividieren bildet eine Ausnahme, denn beim schriftlichen Dividieren wird schrittweise von vorne nach hinten gerechnet. Es werden also zuerst die höheren Stellen des Dividenden geteilt, dann die niedrigeren, und auch das Ergebnis wird direkt von vorn nach hinten geschrieben. Dabei wird eine Nebenrechnung unter dem Dividend (der zu teilenden Zahl) geführt:

 135 : 3 = 45
-12
  15
 -15
   0

Das Dividieren per Kopfrechnen funktioniert deshalb ähnlich. Nur rechnet man hier, des besseren Merkens wegen, nicht mit einzelnen Stellen, sondern mit ganzen Zwischenergebnissen:

135 : 3
130 : 3 ⇒ Runden auf 120 : 3 = 40
fehlen noch
15 : 3 = 5 ⇒ zusammen 45

Ist der Divisor (die Zahl durch die geteilt wird) kleiner/gleich 10, genügt das kleine Einmaleins, um im Kopf zu dividieren. Bei einem Divisor bis 20 ist schon das große Einmaleins erforderlich. Bei Divisoren über 20 kann das Kopfrechnen zur Herausforderung werden – hier muss man sich dann ggf. mit schriftlichem Rechnen behelfen.

Die klassische Methode für schriftliches Dividieren mit Divisoren über 10 funktioniert mit einer kleinen Hilfsrechnung, wobei der Divisor (× 1 bis × 10) einfach neben die eigentliche Rechnung geschrieben wird:

 1452 : 33 = 44
-132
  132
 -132
    0
  NR: 1 × 33 = 33
2 × 33 = 66
3 × 33 = 99
4 × 33 = 132
5 × 33 = 165
6 × 33 = 198
7 × 33 = 231
8 × 33 = 264
9 × 33 = 297

Üben mit dem Divisionstrainer

Und falls Sie sich jetzt richtig fit fühlen:

Alle 4 Grundrechenarten zusammen üben


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