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Gleichseitiges Dreieck – Symmetrie mit drei Ecken

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

Dreht man ein gleichseitiges Dreieck um 120°, deckt es sich genau mit dem Original. Fügt man mehrere dieser Dreiecke gegengleich aneinander, entsteht ein regelmäßiges Wabenmuster. Gleichseitige Dreiecke sind deshalb nicht nur für mathematische Berechnungen beliebt, sondern ergeben z.B. auch dekorative geometrische Muster.

Berechnen Sie mit einem Klick Seitenlängen, Höhe, Umfang und Fläche eines gleichseitigen Dreiecks. Nur ein einziges der Maße muss vorgegeben werden.

Mit dem Rechner für gleichseitige Dreiecke lassen sich die passenden Maße solcher Dreiecke bestimmen. Dazu brauchen Sie nur eine Größe (Seitenlänge, Höhe, Umfang oder Fläche) vorzugeben – alle anderen Maße werden daraus berechnet.

Beispiel

Eine Schublade soll mit bunten gleichseitigen Dreiecken dekoriert werden. Die Schublade ist 15 cm hoch. Damit sich ein geometrisches Muster ergibt, sollen die Dreiecke in zwei Reihen angeordnet werden, jeweils gegengleich aneinander. Die Reihen (und damit auch die Dreiecke) sollen also je 7,5 cm hoch sein.

Welche Seitenlängen müssen die gleichseitigen Dreiecke dafür haben? Das Ergebnis soll auf eine Nachkommastelle genau angezeigt werden.

Lösung im Rechner für gleichseitige Dreiecke aufrufen

Bei der Berechnung werden keine fixen Einheiten vorgegeben; diese können also beliebig gewählt werden. Wichtig ist nur, dass alle Einheiten zueinander passen, also z.B. Seitenlänge, Höhe und Umfang in cm, und die Fläche entsprechend in cm².

Reicht es wirklich, nur ein einziges Maß eines gleichseitigen Dreiecks vorzugeben, um alle anderen genannten Maße eindeutig zu berechnen?

Ja, beim gleichseitigen Dreieck funktioniert das, weil sich Höhe, Umfang und Fläche von den Seitenlängen ableiten und alle drei Seitenlängen gleich sind. Entsprechend kann von Höhe, Umfang oder Fläche auch auf die Seitenlängen zurück gerechnet werden.

Wer den Rechenweg selbst herleiten möchte, hier die passenden Formeln: Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks entspricht der Summe aller drei Seitenlängen, oder einfacher (weil alle Seiten gleich lang sind) 3-mal der Seitenlänge. Die Höhe teilt das gleichseitige Dreieck in zwei gleich große, rechtwinklige Dreiecke. Sie kann deshalb über den Satz des Pythagoras berechnet werden, und ergibt sich als Seitenlänge * (Wurzel aus 3)/2. Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks ist die gleiche wie die eines Rechtecks, das genau so hoch ist wie das Dreieck, aber nur halb so breit. Das kann man sich gut veranschaulichen, indem man das Dreieck aufzeichnet. Sie errechnet sich deshalb als 1/2 * Seitenlänge * Höhe.


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