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Erläuterungen zur Ergebnisgenauigkeit

Die meisten unserer Rechner bieten eine Einstellmöglichkeit der Ergebnisgenauigkeit. Worum geht es dabei?

Ausgabe mit Nachkommastellen und Rundung

In vielen Fällen kommt es zu Rechenergebnissen, die sich nicht als ganze Zahl wie beispielsweise 25 oder 180 ausdrücken lassen, so dass Nachkommastellen erforderlich sind. Aus diesem Grunde ermöglicht die Einstellung zur Ergebnisgenauigkeit die Ausgabe auf null bis sechs Nachkommastellen zu formatieren.

Falls die eingestellte Anzahl der Nachkommastellen geringer ist als zur Anzeige des exakten Werts erforderlich wären, wird kaufmännisch gerundet, d.h. wenn die folgende (nicht mehr dargestellte Nachkommastelle) mindestens eine 5 ist, wird aufgerundet, ansonsten wird abgerundet.

Beispiel: Der exakte Wert sei 7,125. Dieser soll aber nur mit zwei Nachkommastellen ausgegeben werden. Da die dritte (also die erste nicht mehr gewünschte Nachkommastelle) eine 5 ist, wird bei der Ausgabe aufgerundet zu 7,13.

Auch wenn ein Wert einer ganzen Zahl genau entspricht, wird dies durch die Ausgabe mit einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen verdeutlicht, die dann als Nullen ausgegeben werden.

Beispiel: Der Wert sei exakt 15. Ausgegeben mit zwei Nachkommastellen wird dies als 15,00 dargestellt.

Als weitere Einstellmöglichkeit zur Ergebnisgenauigkeit kann auto gewählt werden. In diesem Fall werden Zahlen mit bis zu zehn signifikanten Stellen ausgegeben, wobei nur so viele Nachkommastellen ausgegeben werden, wie nötig sind.

Ausgabe in Exponentialdarstellung

Bei betragsmäßig (also ohne Berücksichtigung eines negativen Vorzeichens) sehr großen oder sehr kleinen Werten ergibt sich das Problem, dass die Zahl aufgrund der vielen Stellen vor oder nach dem Komma sehr lang wird. In diesen Fällen kann die Zahl in Exponentialdarstellung formatiert werden, also mit Angabe einer Zehnerpotenz. Beispielsweise steht 9,460730473 × 1015 für die Zahl 9.460.730.473.000.000.

Bei betragsmäßig sehr großen Zahlen erfolgt die Ausgabe daher automatisch immer in Exponentialdarstellung mit bis zu zehn signifikanten Stellen unabhängig von der Einstellung zur Ergebnisgenauigkeit.

Bei betragsmäßig sehr kleinen Zahlen (nahe 0), erfolgt die Ausgabe in Exponentialdarstellung mit bis zu zehn signifikanten Stellen, wenn als Ergebnisgenauigkeit die Einstellung auto gewählt wurde. Beispielsweise steht 1,057000834 × 10-16 für die Zahl 0,0000000000000001057000834.

Hinweis zur Dateneingabe

Wie in Deutschland üblich, werden Nachkommastellen mit einem Komma abgetrennt ausgegeben. Da bei PC-Systemen oft auch die Abtrennung durch einen Punkt erfolgt, wird bei der Dateneingabe wahlweise das Komma oder der Punkt akzeptiert.

Wenn Sie Werte in Exponentialdarstellung eingeben möchten, verwenden Sie den Buchstaben E.

Beispiel: Die Zahl 123,4567 können Sie auch als 1,234567E2 eingeben, was für 1,234567 × 102 ( = 1,234567 × 100 = 123,4567) steht. Die Zahl hinter dem E heißt Exponent (daher auch die Bezeichnung Exponentialdarstellung) und kann als die Anzahl der Stellen betrachtet werden, um die das Komma nach links (Exponent kleiner null) oder nach rechts (Exponent größer null) verschoben wird.

Grundsätzliches zur Genauigkeit

Abschließend sei noch darauf hingewiesen, dass Rechenergebnisse in der Regel nur so genau sein können, wie es die Eingabedaten sind. Als Beispiel sei die Umrechnung einer in Zentimetern gemessenen Länge in Zoll genannt. Sofern es sich nicht um eine rein theoretische Betrachtung handelt, würde es in der praktischen Anwendung meist wenig Sinn machen, das Ergebnis in Zoll mit mehr als ein bis zwei Nachkommastellen darzustellen, wenn Sie die ursprüngliche Länge in Zentimetern mit einem üblichen Metermaß gemessen haben, mit dem Sie in der Regel aber nur höchstens auf einen halben Millimeter (also 0,05 cm) genau messen können.

Auch wird oftmals gar kein ganz exakter Wert benötigt, da man mit einem solchen gar nicht arbeiten könnte. Wenn Sie beispielsweise mit einem unserer Rechner die benötigte Länge eines Balkens berechnet haben, den Sie selbst zusägen möchten, macht die Ausgabe in Metern mit mehr als drei Nachkommastellen meist keinen Sinn, da Sie den Balken in der Regel ohnehin nur höchstens auf den Millimeter genau zusägen können, z.B. auf 1,435 m, aber eben nicht auf exakt 1,43482673 m. Von daher ist die Rundung auf eine bestimmte, sinnvolle Anzahl von Nachkommastellen zu empfehlen.

Ein anderes Beispiel sind berechnete Geldbeträge, welche in der Regel auch nur mit zwei Nachkommastellen, also ganze Euro und ganze Cent, sinnvoll sind, da Sie keine angebrochenen Centbeträge bezahlen können. Eine Ausnahme sind Zwischenergebnisse oder rechnerische Einzelpreise, wie Sie es von der Tankstelle her kennen: Der Spritpreis pro Liter wird meist mit drei Nachkommastellen angegeben, womit auch gerechnet wird; der zu zahlende Gesamtbetrag wird dann jedoch auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Darüber hinaus treten häufig Fälle auf, bei denen Zahlen gar nicht mit einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen dargestellt werden können. Ein einfaches Beispiel ist die Divsion 2 geteilt durch 3. Das Ergebnis hierzu ist 0,6666666666...., also eine null mit einer unendlichen Folge von Sechsern hinter dem Komma. Während man einen solchen Wert noch als periodische Dezimalzahl kenntlich machen könnte, gibt es andere Fälle, bei denen auch das nicht geht, wie beispielsweise die Wurzel aus 2 ( = 1,41421356...) oder die Kreiszahl pi ( = 3,14159265...).


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