Wie berechnet man die Kochzeit für ein Ei eines gewünschten Härtegrads

Die Formeln zur Berechnung der Kochzeiten von Eiern von Williams bzw. Gruber

Wenn man Formeln für die Berechnung der Kochzeit von Eiern sucht, tauchen immer wieder zwei Namen auf: Charles Williams und Werner Gruber. Beide haben thermodynamische Überlegungen angestellt und ihre Formeln bilden die Grundlage von Online-Rechnern zur Berechnung der Kochzeit von Eiern sowie von bestimmten Eieruhren oder Mitkocheiern.

Hier sind die entwickelten Formeln:

Williams: t_Kochzeit = 27 ^sec⁄_g^2⁄3 ⋅ m^2⁄₃ ⋅ ln(0,763 ⋅ ^{(T_Kochwasser - T_{Ei Start})}⁄_{(TKochwasser - TWunsch)})

bzw: t_Kochzeit = 0,45 ^min⁄_g^2⁄3 ⋅ m^2⁄₃ ⋅ ln(0,763 ⋅ ^{(T_Kochwasser - T_{Ei Start})}⁄_{(TKochwasser - TWunsch)})

Gruber: t_Kochzeit = 0,0016 ^min⁄_mm² ⋅ d² ⋅ ln(2 ⋅ ^{(T_Kochwasser - T_{Ei Start})}⁄_{(TKochwasser - TWunsch)})

Was steckt hinter den Formeln zur Berechnung der Kochzeit der Eier?

Bei der Formel von Werner Gruber wird das Ei als eine Kugel approximiert und berechnet, wann das Innere der Kugel eine definierte Temperatur hat (quasi eine Temperatur im Mittelpunkt des Eis (bzw. korrekter der Kugel)).

Auch Charles Williams hat aus Gründen der Vereinfachung die Eiform durch eine Kugelform ersetzt. Der Ansatz ist zunächst der Gleiche. Jedoch wird nicht gefragt, wann im Zentrum des Eis eine definierte Temperatur erreicht wird, sondern wann das beim Übergang vom Eiweiß zum Eigelb der Fall ist. Dafür wird angenommen, dass das Volumen des Eigelbs 1/3 des Gesamteivolumens ist, und dass die Eigelb-Kugel im Inneren der Eiweiß(hohl)kugel liegt. Wenn Sie z.B. mit unserem Kugelrechner einmal fragen, bei welchem Radius ist das Volumen einer Kugel 1 ist und dann wann 1/3, bekommen Sie als Lösung 0,620 bzw. 0,430. Der Quotient von 0,43/0,62 ist 0,69. Charles Williams berechnet daher, wann nach ca. 30% des Eiradius eine bestimmte Temperatur erreicht wird, da dort rechnerisch bei Approximation als Kugeln der Übergang von Eiweiß zu Eigelb ist.

Dieser Unterschied in den beiden Ansätzen führt zu den unterschiedlichen Faktor unter dem natürlichen Logarithmus (ln) der zwei Formeln für die Kochzeitberechnung. Wen das genauer interessiert: Der Faktor berechnet sich bei der Herleitung der Formeln als 2⋅sin(π⋅r)/(π⋅r). Bei r gegen 0, also dem Mittelpunkt des Kugel"eis" ergibt sich aus diesem Term als Ergebnis 2. Verwendet man r = 0,69 um die Stelle des Übergangs vom Eiweiß zum Eigelb zu beschreiben ergibt sich 0,76(3). Dieser Faktor wird von Charles Williams benutzt.

Der Rest des logarithmischen Terms ist bei beiden Formeln im Prinzip gleich. Es werden zwei Temperaturunterschiede benötigt. Zum einen die Temperaturdifferenz zwischen dem Kochwasser und dem Ei zu Beginn, und zum anderen der Unterschied zwischen dem Kochwasser und der Wunschtemperatur im Ei-Inneren. Sogleich folgt aber auch schon ein Unterschied – nämlich welche Temperatur im Ei-Inneren anzusetzen ist. Bei Gruber wird die Temperatur im Zentrum benötigt, die man für ein weiches, ein wachsweiches oder ein hartes Ei erreichen muss. Bei Williams muss man die Temperaturen am Übergang von Eiweiß zu Eigelb verwenden, um die Kochzeiten für Eier eines gewünschten Härtegrads zu berechnen.

Ist die Formel von Williams nicht praktischer?

Bei der Formel von Gruber geht der Eidurchmesser ein, bei der von Williams das Gewicht des Eies. Dieser Unterschied wird bei den Gegenüberstellungen der beiden Formeln gerne genannt – in Kombination mit der Schlussfolgerung, dass in einer normalen Küche daher die Verwendung der Formel von Williams praktikabler ist, da eine Waage regelmäßig zur Verfügung steht aber eine Schieblehre nicht. Außerdem erfolgt die Klassifizierung von Eiern nach Gewicht und nicht nach dem Durchmesser.

Richtig! Aber dennoch beruhen beide Formeln auf dem Durchmesser, und sogar beide auf dem Durchmesser einer Kugel. Nur wird bei Williams unter Annahme einer Dichte von 1,03 g/cm³ ein Zusammenhang zwischen dem Durchmesser (bzw. korrekter Volumen) der Kugel und dem Gewicht hergestellt und bei Gruber's Formel wird dieser Schritt nicht ausgeführt. Unter diesem Gesichtspunkt kann aufgeführt werden, dass die Formeln sich zusätzlich darin unterscheiden, dass in ihren ursprünglich veröffentlichten Formen die Kochzeit einmal in Sekunden und einmal in Minuten berechnet wird. Eine solche Umrechnung können Sie z.B. mit unserem Zeitumrechner vornehmen.

Im Folgenden sehen Sie die Formel von Williams in der "ursprünglichen" Form, in die auch der Radius bzw. der Durchmesser des Eies eingeht:

Williams: t_Kochzeit = 0,003 ^min⁄_mm² ⋅ d² ⋅ ln(0,763 ⋅ ^{(T_Kochwasser - T_{Ei Start})}⁄_{(TKochwasser - TWunsch)})

Der Faktor 0,003 ergibt sich aus der spezifischen Wärmekapazität, der thermischen Leitfähigkeit und der Dichte des Eiweißes. Diese Werte hat Williams einer wissenschaftlichen Veröffentlichung entnommen: Polley et al. 1980 "A compilation of thermal properties of foods". Die dort aufgeführten Werte von 3,7 J/(gK), 0,0054 W/(cmK) und 1,038g/cm³ werden in diesen Größenordnungen auch in der Veröffentlichung "Density, heat capacity and thermal conductivity of liquid egg products" von Coimbra et al. (2006) bestätigt.

Die Ableitung des Faktors von 0,0016 in der vergleichbaren Formel von Werner Gruber lies sich durch den Autor dieses Artikels bisher leider nicht finden. Möglicherweise gehen in diesen Faktor auch Erfahrungswerte ein – was durchaus berechtigt wäre, da z.B. die Eischale mit ihren thermodynamischen Eigenschaften sonst unberücksichtigt bleibt.

Welche Wunsch-Temperaturen soll man denn wählen, um bei den beiden Formeln die Kochzeiten für weiche, wachsweiche oder harte Eier zu berechnen?

Werner Gruber definiert folgende Temperaturen: Wenn man ein weiches Ei haben möchte, dann sollte der Wert T_Wunsch 62°C und bei einem harten Ei sollte T_Wunsch 82°C betragen.

Mit diesen Angaben kommt man mit der Gruber-Formel bei einem Standard M Ei mit 42 mm Durchmesser von 20°C auf eine Kochzeit von 4 min für ein weiches Ei und von knapp über 6 min für ein hartes Ei.

Für Charles Williams ist die optimale Temperatur an der Grenze von Eiweiß zu Eigelb 63°C, dann ist es ein weiches Ei. Verwendet man dafür die Williams-Formel, der der Durchmesser des Eis zugrunde liegt, erhält man für ein 20°C warmes 42 mm Ei nur eine Kochzeit von 2 Min 38 Sek. Ein durchschnittliches Ei der Größe M wiegt 58 Gramm. Bei einer Dichte von 1,035 g/cm hätte ein 58 g Ei ein Volumen von 56 cm³. Um ein solches Volumen zu haben, braucht man eine Kugel mit einem Radius von 2,37 cm (siehe Kugelrechner), also einem Durchmesser von ca. 47,5 mm.

Gibt man in die Williams-Formel eine Masse von 58 g ein, berechnet die Formel intern die Kochzeit für eine Kugel mit ca. 47,5 mm Durchmesser. Das ergibt dann für ein Ei mit einer Ausgangstemperatur von 20°C bis zu einer Wunschtemperatur von 63°C eine Kochzeit von etwa 3 min 21 sec. Dies erscheint eine sinnvolle Zeit für ein weichgekochtes Ei.

Charles Wiliams gibt keine Innenwunsch-Temperatur für ein hartgekochtes Ei vor. Nimmt man wie für die Gruber-Formel 82°C erhält man bei der Angabe 42 mm eine Kochzeit von 6 Min. 26 Sek. und bei der Angabe 58 g eine Kochzeit von ca. 8 Min 12 Sek.

Alle hier berechneten Angaben gehen von einer Kochwasser-Temperatur von 100°C aus. In der Realität ist die Kochwassertemperatur allerdings vom Außendruck abhängig, und damit v.a. von der Höhe über dem Meeresspiegel.

Die Approximierungen als Kugel geben bei der Williams-Formel bessere Ergebnisse als eine Approximierung als Ei

Noch einmal als Zusammenfassung: Beide bekannten Formeln für die Berechnung der Kochzeit von Eiern, beruhen auf dem Radius bzw. Durchmesser der Eis. Als letzter Umformungsschritt wurde jedoch bei der Formel von Charles Williams der Durchmesser durch das Gewicht einer entsprechenden Kugel ersetzt. Dabei hat er die Zusammenhänge V = ^π⁄₆ ⋅ d³ (das ist V ≈ 0,52 d³) und Dichte ϱ = ^m⁄_V verwendet. Also d = ( ^{(6 ⋅ m)}⁄_{(π ⋅ ϱ)} )^1⁄₃

Die Formel

t_Kochzeit = 0,003 ^min⁄_mm² ⋅ d² ⋅ ln(0,763 ⋅ ^{(T_Kochwasser - T_{Ei Start})}⁄_{(TKochwasser - TWunsch)})

wird dadurch zu

t_Kochzeit = 0,003 ^min⁄_mm² ⋅ (^{(6 ⋅ m)}⁄_{(π ⋅ ϱ)})^2⁄₃ ⋅ ln(0,763 ⋅ ^{(T_Kochwasser - T_{Ei Start})}⁄_{(TKochwasser - TWunsch)})

bzw. mit ϱ = 1,038 ^g⁄_cm³, der Dichte von Eiweiß, zu

t_Kochzeit = 0,45 ^min⁄_g^2⁄3 ⋅ m^2⁄₃ ⋅ ln(0,763 ⋅ ^{(T_Kochwasser - T_{Ei Start})}⁄_{(TKochwasser - TWunsch)})

Mit dieser Formel lassen sich gute Ergebnisse erhalten. Jedoch wäre es korrekter für diese Umrechnung die Dichte des Gesamteis zu nehmen. Da die Ei-Schale eine relativ hohe Dichte hat, findet man in der Literatur Durchschnittswerte für das Gesamtei von ϱ ≈ 1,1 ^g⁄_cm³. Weiterhin findet man Näherungen für das Ei-Volumen mit der Formel V_Ei = 0,525 ⋅ h ⋅ d². Bei einer Annahme einer Eiform, bei der h/d = 0,75 bzw. d/h = 1,333, was bedeutet, dass das Ei 1,33 mal so hoch ist, wie der Durchmesser am Äquator, kommt man auf V_Ei = 0,7 ⋅ d³. Im Vergleich zu dem Volumen einer Kugel gleichen Durchmessers hätte ein solches Ei ca. 35% mehr Inhalt.

Würde man mit diesen Überlegungen die Formel von Williams anpassen, also versuchen aus dem Gewicht eines Eis den echten Ei-Durchmesser zu berechnen, nicht den einer Kugel, wären deutlich zu kurze Kochzeiten die Folge, wie bereits im vorherigen Abschnitt deutlich wurde. Denn, die "Fehler", die sich durch die Berechnung des Eis als Kugel ergeben, kompensieren die eigentlich zu kurzen Kochzeiten für Eier eines gegebenen Durchmessers.

Weiterentwicklung der Formel nach Gruber

Für unseren Rechner zur Bestimmung der Kochzeit von Eiern einer gewünschten Härte haben wir die Formel von Werner Gruber weiterentwickelt, so dass man nun auch mit dieser Formel mit dem Gewicht des Eis Rechnen kann. Dazu verwenden wir, wie im vorigen Abschnitt dargelegt, eine Dichte von ϱ ≈ 1,1 ^g⁄_cm³ und V_Ei = 0,7 ⋅ d³ und ϱ = ^m⁄_V.

Gruber Masse nach RechnerClub: t_Kochzeit = 0,19 ^min⁄_g^2⁄3 ⋅ m^2⁄₃ ⋅ ln(2 ⋅ ^{(T_Kochwasser - T_{Ei Start})}⁄_{(TKochwasser - TWunsch)})

Da der Faktor der Formel von Gruber auf den tatsächlichen Eidurchmesser optimiert zu sein scheint, ist hier die Approximation des Eis als Eis sinnvoll. Aus der Masse wird näherungsweise der Durchmesser bestimmt.

Diese Vorgehensweise konnten wie bislang nicht als offengelegte Formel finden und unsere Weiterentwicklung ist das Ergebnis stundenlanger Recherchearbeit. Wenn Sie diese nutzen, würden wir uns freuen, wenn Sie auf diese Seite hinweisen.