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Zentrierte Quadratzahlen - Rechner

Zentrierte Quadratzahlen stellen die Anzahl von Steinen dar, die benötigt wird, um ein Quadrat aus seinem Zentrum heraus und um dieses Zentrum herum zu legen.

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Ergebnis
Nummer
Zentrierte Quadratzahl
1
1
2
5
3
13
4
25
5
41
6
61
7
85
8
113
9
145
10
181
11
221
12
265
13
313
14
365
15
421
16
481
17
545
18
613
19
685
20
761

Die zentrierten Quadratzahlen gehören zu den sog. figurierten Zahlen, da sie sich auf eine geometrische Figur bzw. Form, in diesem Fall ein Quadrat, beziehen. Dies veranschaulicht die folgende Abbildung der ersten vier zentrierten Quadratzahlen.

Die n-te zentrierte Quadratzahl gibt jeweils die Anzahl der Steine an, die benötigt wird, um ein entsprechendes Quadrat mit der Kantenlänge n aus dem Zentrum heraus zu legen. Die Variable n kann eine beliebige natürliche Zahl größer/gleich Null sein. Der erste Stein wird dabei in die Mitte gelegt. Dann werden weitere Steine gleichmäßig im Quadrat um das Zentrum herum angeordnet. Für jede neue Schicht wird jeweils ein neuer Stein über jeder Ecke platziert, und jede Kante erhält einen Stein mehr als in der vorherigen Schicht. Um ein zentriertes Quadrat um eine Schicht zu erweitern, braucht es also immer vier Steine mehr als in der vorherigen Schicht.

Daraus ergibt sich als erste zentrierte Quadratzahl die 1 (der erste Stein im Zentrum), als zweite zentrierte Quadratzahl 1+4 = 5 (die erste sichtbar quadratische Schicht um den Zentralstein herum), als dritte 1+4+8 = 13, als vierte 1+4+8+12 = 25 usw. Dabei bilden die einzelnen Summanden ab dem zweiten Summanden eine arithmetische Folge, d.h. eine regelmäßige Zahlenfolge mit gleicher Differenz zwischen benachbarten Zahlen; in diesem Fall +4.

Wie die unzentrierten Quadratzahlen bilden auch die zentrierten Quadratzahlen somit also eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.

Die n-te zentrierte Quadratzahl entspricht außerdem auch der Summe aus der n-ten und der (n-1)-ten unzentrierten Quadratzahl. Beispiel: Dritte plus vierte unzentrierte Quadratzahl = 9+16 = 25 = vierte zentrierte Quadratzahl.

Zentrierte Quadratzahlen gehören auch zu den zentrierten Polygonalzahlen, da das Quadrat ein Polygon darstellt.

Optische Täuschung: Die Seiten des Quadrates scheinen leicht nach innen gebogen. Das ist jedoch eine optische Täuschung, die Seiten sind exakt gerade.

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