Wetten, Du kannst ein Blatt Papier nicht 8-mal falten? (Und warum es beim 42. Mal auf dem Mond landet)
Hast Du gerade ein Blatt Papier zur Hand? Vielleicht eine Rechnung oder eine Notiz? Dann mach mal ein Experiment: Versuch bitte, dieses Blatt so oft wie möglich in der Mitte zu falten.
Einmal geht leicht. Zweimal auch. Dreimal – kein Problem. Aber spätestens beim 6. oder 7. Mal wirst Du merken: Es geht nicht mehr. Es fühlt sich an, als würdest Du versuchen, ein Holzbrett zu biegen.
Es gibt einen alten Mythos, der sagt: "Man kann ein Blatt Papier nicht öfter als 7-mal falten." (Spoiler: Der Weltrekord liegt dank spezieller Tricks bei 12-mal, aber für uns Normalsterbliche ist bei 7 oder 8 Schluss).
Aber was wäre, wenn wir Superkräfte hätten? Was wäre, wenn wir das Papier einfach immer weiter falten könnten? Das Ergebnis sprengt Deine Vorstellungskraft.
Zweierpotenzen sind das Ergebnis einer wiederholten Multiplikation der Zahl 2 mit sich selbst, mathematisch ausgedrückt 2n. Anschaulich stellen Zweierpotenzen die Anzahl an Steinen dar, die man erhält, wenn man einen einzelnen Stein n-mal verdoppelt.
Die Mathematik der Verdopplung
Ein handelsübliches Kopierpapier ist etwa 0,1 Millimeter dünn. Das ist fast nichts. Wenn wir es einmal falten, liegen zwei Schichten übereinander (0,2 mm). Wenn wir es nochmal falten, sind es vier Schichten (0,4 mm).
Das klingt langweilig, oder? Wir denken: "Das wächst ja nur ganz langsam."
Aber hier macht unser Gehirn einen Fehler. Wir denken linear ($1, 2, 3, 4, 5...$), aber das Papier wächst exponentiell (2, 4, 8, 16, 32, ...).
Lass uns die Reise starten!
Stufe 1: Das Taschenbuch (10 Faltungen)
Wenn Du es schaffst, das Blatt 10-mal zu falten, hast Du bereits 210 Schichten. Das sind 1.024 Lagen Papier. Die Dicke beträgt jetzt etwa 10 Zentimeter. Aus dem dünnen Blatt ist ein dicker Roman geworden.
Stufe 2: Der Wolkenkratzer (23 Faltungen)
Wir machen weiter. Falte das Papier noch 13-mal. Wir sind jetzt bei 23 Faltungen. Wie dick ist unser Papierstapel jetzt? Einen Meter? Zwei Meter? Falsch. Dein Papierstapel ist jetzt 1 Kilometer hoch! Du hast soeben den Burj Khalifa (das höchste Gebäude der Welt) überragt. Und das mit nur 23-mal falten.
Stufe 3: Der Weltraum (30 Faltungen)
Bei 30 Faltungen erreichen wir eine Dicke von ca. 100 Kilometern. Herzlichen Glückwunsch, Dein Papierstapel hat soeben die Grenze zum Weltraum (die Kármán-Linie) durchbrochen. Du könntest jetzt Satelliten darauf parken.
Stufe 4: Die Mondlandung (42 Faltungen)
Jetzt wird es verrückt. Wir falten weiter. 35... 40... Beim 42. Falten passiert das Unfassbare. Rechnen wir nach: 242 ist ungefähr 4,4 Billionen. 4,4 Billionen Schichten Papier mal 0,1 mm ergibt: ca. 440.000 Kilometer.
Der Mond ist im Durchschnitt "nur" 384.400 Kilometer von der Erde entfernt. Das bedeutet: Wenn Du ein Blatt Papier nur 42-mal falten könntest, wäre der Stapel so dick, dass Du auf dem Mond spazieren gehen könntest (und sogar noch ein Stück darüber hinaus).
Stufe 5: Das Universum (103 Faltungen)
Nur zum Spaß: Wenn Du es bis zur 103. Faltung schaffst, wäre Dein Papierstapel dicker als das gesamte beobachtbare Universum (ca. 93 Milliarden Lichtjahre). Vom Schreibtisch zum Ende des Universums in nur 103 Schritten.
Warum verstehen wir das nicht?
Dieses Phänomen nennt man exponentielles Wachstum. Unser Gehirn hat sich in der Evolution darauf eingestellt, lineare Dinge zu verstehen: "Wenn ich doppelt so lange laufe, komme ich doppelt so weit."
Exponentielles Wachstum kommt in der Natur selten vor (außer bei Viren oder Bakterien), deshalb unterschätzen wir es fast immer gnadenlos. Wir fühlen intuitiv, dass 42 Faltungen vielleicht ein paar Meter sein müssten – niemals aber die Strecke zum Mond.
Zweierpotenzen sind das Ergebnis einer wiederholten Multiplikation der Zahl 2 mit sich selbst, mathematisch ausgedrückt 2n. Anschaulich stellen Zweierpotenzen die Anzahl an Steinen dar, die man erhält, wenn man einen einzelnen Stein n-mal verdoppelt.
Fazit
Das nächste Mal, wenn Du ein Blatt Papier in der Hand hältst, denk daran: Es fehlt nur die Kraft (und die Blattgröße), um damit die Sterne zu erreichen. Mathematisch gesehen hast Du eine Leiter zum Mond in der Hand.
Willst Du selbst mit riesigen Zahlen spielen? Mit unserem Zweierpotenzen-Rechner kannst Du mal eingeben, was bei 250 oder 2100 passiert. Aber Vorsicht: Die Zahlen werden so groß, dass sie kaum noch auf den Bildschirm passen!
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Alle Angaben und Berechnungen ohne Gewähr.