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Kombinatorik: Anzahl möglicher Kombinationen berechnen (ohne Wiederholung)

Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es, wenn Sie eine bestimmte Anzahl von Objekten aus einer größeren Gesamtmenge ziehen? Die Reihenfolge der Objekte sei irrelevant, aber es soll kein Objekt mehrfach gezogen werden (keine Wiederholungen).

Als Kombination bezeichnet man in der Mathematik eine ungeordnete Stichprobe: Aus einer Gesamtmenge n wird eine bestimmte Anzahl k an Objekten ausgewählt (zufällig oder absichtlich), wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Beim Ziehen von 2 aus 4 Objekten ist es also z.B. gleich, ob 3-4 oder 4-3 gezogen wird; beides zählt als 1 Kombination.

Dieser Kombinatorik-Rechner kalkuliert die Anzahl möglicher Kombinationen unter Ausschluss von Wiederholungen, d.h. jedes Objekt darf pro Durchgang höchstens einmal gezogen werden. Dies entspricht im bekannten Urnenmodell dem Ziehen ohne Zurücklegen, und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Damit dies funktioniert, müssen alle Objekte unterscheidbar sein.

Beispiel

Vor Ihnen liegt eine Schachtel mit 10 verschiedenen Schokoladenpralinen. Sie dürfen sich 5 davon aussuchen. Die Reihenfolge, in der Sie wählen, spielt keine Rolle (Sie dürfen hinterher alle essen).

Wie viele verschiedene Kombinationen können Sie wählen?

Lösung im Rechner für die Anzahl möglicher Kombinationen (ohne Wiederholung) aufrufen

Die Zahl der möglichen Kombinationen beim Ziehen von k Objekten aus einer Gesamtmenge von n Objekten (unter Ausschluss von Wiederholung) wird über den Ausdruck n!/(n-k)!*k! berechnet.

Dabei ergibt n! (n Fakultät) zunächst die Anzahl aller möglichen Kombinationen, wenn aus der Gesamtmenge von n Objekten alle Objekte ausgewählt werden, und zwar ohne Wiederholungen, aber mit Berücksichtigung der Reihenfolge. So viele Kombinationen sollen hier aber gar nicht berechnet werden; es soll nur eine gewisse Anzahl k an Objekten aus der Gesamtmenge gezogen werden. Um die übrigen wieder herauszurechnen, wird deshalb durch (n-k)! geteilt. Außerdem soll die Reihenfolge nicht berücksichtigt werden. Kombinationen, die mehrfach gleich auftauchen (siehe oben, wie 3-4 und 4-3), dürfen also nur einfach gewertet werden. In der Berechnung wird das erreicht, indem noch durch k! geteilt wird. Daraus ergibt sich obiger Ausdruck n!/(n-k)!*k!, der auch einfacher als Binomialkoeffizient (n über k) geschrieben werden kann.

Genug Theorie? Hier geht es direkt zum Rechner für die Anzahl möglicher Kombinationen (ohne Wiederholung)


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